アドバンスの冒険日誌

今回は、パスカルの三角形、2項定理について教えます。

パスカルの三角形・・・1からどんどん枝分かれした三角形。
        1   　　　　     1つの数字から右下、左下へと分かれ、
       1 1               進行方向が被った所は足す。
　　 1 2 1　　　　  　 3段目から、(a+b)^nの
    1 3 3 1　　　  　  係数(文字をかけている数。4xの係数は4)
   1 4 6 4 1　　　　  がいくつであるか分かる。
 1 5 10 10 5 1　　  3段目の1,2,1は(a+b)^2の係数である。
1 6 15 20 15 6 1　  (a+b)^2=1a^2+2ab+1b^2=a^2+2ab+b^2

a^n+A{a^(n-1)}b+B{a^(n-2)}b^2+…
+B(a^2){b^(n-2)}+Aa{b^(n-1)}+b^nというように、
各項の次数(かけられた文字の数。2(x^2)yの次数は3)
の合計がnと等しく、a^nから1つずつ÷aをし、
1つずつ・yをしてb^nになるまで足していく。
4段目 (a+b)^3=a^3+3(a^2)b+3a(b^2)+b^3
7段目 (a+b)^6=a^6+6(a^5)b+15(a^4)(b^2)+20(a^3)(b^3)+
                    15(a^2)(b^4)+6a(b^5)+b^6

2項定理とは、nCn(1のこと)からnC0(1のこと)までを係数とし、
(a+b)^nの2項展開(2つの文字の展開)を表す公式である。
復習　nPr=n・n-1・n-2… ・n-r+2・n-r+1、
        nCr=nPr/r!(1からrまでの自然数の積)
(a+b)^3は、3C3(1のこと)、3C2(3のこと)、
3C1(3のこと)、3C0(1のこと)となるので、
係数は1、3、3、1の順である。

まとめ　
パルカルの三角形または2項定理を用いて、
(a+b)^nの係数を求めることができる。
また、次数はn固定であり、a^nからb^nまでの
全ての組み合わせを足すことにより
(a+b)^nを展開することができる。