アドバンスの冒険日誌

前回投稿した「２次関数　問題集」の解答です。

わずか８問ですが解説を入れると軽く２０００文字を

オーバーしたので、その１とその２に分けて投稿しました。

その１は①～④までの解答、その２は⑤から⑧までの解答です。


⑤　a>0とする。関数y=a(x^2)+2ax+b(-2≦x≦1)の
最大値が6,最小値が3であるように、定数a,bの値を定めよ。

y=a(x^2)+2ax+b

 =a{(x+1)^2}-a+b

a>0,-2≦x≦1よりx=-1のとき最小値3をとり、

x=1のとき最大値6をとる。

すなわち、a{(-1+1)^2}-a+b=3と

a{(1+1)^2}-a+b=6の連立方程式を解けばよい。

a{(-1+1)^2}-a+b=3 →　-a+b=3・・・①

a{(1+1)^2}-a+b=6 → 3a+b=6・・・②

②-①より、4a=3,よってa=3/4となる。これはa>0をみたす。

①または②の式にa=3/4を代入。

①の式にa=3/4を代入すると、(3・3/4)+b=6

9/4+b=24/4 , b=15/4となる。


⑥　1辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを出発して、
辺AB上を1cm/sの速さでBに向かって進み、点Qは点Pと同時に
Bを出発して、辺BC上を2cm/sの速さでCに向かって進む。
QがCに達するまでに、P,Q間の距離が最小になるのは、
出発してから何秒後か。また、その最小の距離を求めよ。

Pが1秒間に進む距離をxcmとすると、

PB=(10-x)cm,BQ=2xcmとおける。このとき、0≦x≦5である。

P,Q間の距離はピタゴラスの定理を適用して、

(PQ)^2=(10-x)^2+(2x)^2=x^2-20x+100+4(x^2)

                                =5(x^2)-20x+100

                                =5{(x-2)^2}+80

x=2のとき、最小値80をとる。

(PQ)^2=80 , PQ>0よりP,Q間の最小距離は√80=4√5cmとなる。


⑦　(-1,9),(1,-9),(2,0)を通る2次関数を求めよ。

2次関数のグラフはy=a(x^2)+bx+cと表せるから、

a-b+c=9・・・① , a+b+c=-9・・・② , 

4a+2b+c=0・・・③の三元連立一次方程式を解けばよい。

②-①よりb=-9 , ③-②より3a+b=9となり、この式に

b=-9を代入して3a=18 , すなわちa=6とわかる。

①または②または③の式にa=6 , b=-9を代入。

②の式にa=6 , b=-9を代入すると、6-9+c=-9

よってc=-6 , これらをa(x^2)+bx+cにあてはめて

y=6(x^2)-9x-6となる。


⑧　放物線y=-2(x^2)+5xを平行移動した曲線で、点(1,-3)を通り、
頂点が直線y=-2x+3上にある放物線の方程式を求めよ。

y=-2(x^2)+5xを平行移動した曲線の軸をx=pとおく。

これがy=-2x+3上にあるから、この曲線の頂点は

(p , -2p+3)である。すなわち、曲線の方程式は

y=-2{(x-p)^2}-2p+3とおける。これが(1,-3)を通るから、

-2{(1-p)^2}-2p+3=-3の2次方程式を解けばよい。

-2(p^2-2p+1)-2p+6=0 , -2(p^2)+2p+4=0

2(p^2)-2p-4=0 , p^2-p-2=0 , (p+1)(p-2)=0

p=-1 , 2 , p=-1 , 2をy=-2{(x-p)^2}-2p+3にそれぞれ

代入すれば元の放物線の方程式ができる。よって、元の放物線の

方程式はy=-2{(x+1)^2}+5 , y=-2{(x-2)^2}-1の2つとなる。


⑤～⑧の解答及び解説はこれで以上です。何か理解できない点や、

ミスと思われるものがあれば教えてください。