アドバンスの冒険日誌

▼　高次方程式を解く上で必要な知識　▼

①因数分解（高１）

②分数式（高２）

③複素数（高２）

④剰余の定理（高２）


小学３年生の算数において，

割り算で余りを求めていた時期があった。

しかし，小学４年生の算数においては

割り算で余りを求めるような計算はせず，

割り切れるものなら小数を使ってしまおうということを

習った。では，なぜ割り算で市市

余りを求めるようなことを習ったのだろうか。

それは，数学Ⅱ（高２）において

剰余の定理を学習する上で必要な知識であるからだ。

高次方程式は，因数分解をすれば解けてしまう。

数学Ⅰ（高１）において，展開・因数分解の公式を

習ってきたが，公式だけでは因数分解できない

高次式もあるため，因数定理も学ぶ必要がある。


▼　因数定理　▼

多項式P(x)について，P(a)=0ならば

P(x)はx−aで割り切れる。（ P(x)はx−aを因数にもつ。）

この定理を因数定理という。

Pr) P(x)÷(x-a)=Q(x)+Rとすると，

P(x)=(x-a)Q(x)+Rとなり，

P(a)=R が成り立つ。（これが剰余の定理）

P(a)=0 ⇒ R=0 //


▼　高次方程式　▼

3次以上の方程式を高次方程式という。

高次方程式は基本的に因数分解をして解く。

因数分解公式（高１のおさらい）

① a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

② a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

③ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3

④ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3


▼　高次方程式の問題　▼

次の方程式を解け。

(1) x^3+64=0

(2) 27x^3-8=0

(3) 3x^4-11x^2-4=0

(4) (x^2+2x)(x^2+2x+4)-12=0

(5) 6x^3-19x^2+11x+6=0

(6) 3x^3-43x^2+23x-3=0


▼　解答　▼

(1)
x^3+64=0
(x+4)(x^2-4x+16)=0
x=-4 , 2±2√3i

(2)
27x^3-8=0
(3x-2)(9x^2+6x+4)=0
x=-2/3 , -1±√3i/3

(3)
3x^4-11x^2-4=0
x^2をAとおくと，
3A^2-11A-4=0
(3A+1)(A-4)=0
Aをx^2に戻して，
(3x^2+1)(x+2)(x-2)=0
x=√3i/3 , ±2

(4)
(x^2+2x)(x^2+2x+4)-12=0
x^2+2xをAとおくと，
A^2+4a-12=0
(A+6)(A-2)=0
ここでAをx^2+2xに戻して，
(x^2+2x+6)(x^2+2x-2)=0
x=-1±√5i , -1±√3


(5) 
6x^3-19x^2+11x+6=0
f(x)=6x^3-19x^2+11x+6とおくと，
f(2)=0であるから，f(x)はx-2で割り切れる。
f(x)÷(x-2)=6x^2-7x-3
f(x)=(x-2)(6x^2-7x-3)=(x-2)(3x+1)(2x-3)=0
x=-1/3 , 3/2 , 2 

(6)
3x^3-43x^2+23x-3=0
f(x)=3x^3-43x^2+23x-3とおくと，
f(1/3)=0であるから，f(x)は3x-1で割り切れる。
f(x)÷(3x-1)=x^2-14x+3
f(x)=(3x-1)(x^2-14x+3)=0
x= 1/3 , 7±√46

計算が非常に面倒くさい・・・