アドバンスの冒険日誌

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

x^2-y^2=(x+y)(x-y)

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)または(x+y)(x^2-xy+y^2)

x^3-y^3=(x-y)^3-3xy(x-y)または(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(x^2)y^2

x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2) 

x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-{(xy)^2}(x+y)

x^5-y^5=(x^3+y^3)(x^2-y^2)+{(xy)^2}(x-y)

このように，式の値を求める際は

因数分解をして次数の少ない掛け算にすると良い。


例題１１：　x=(√5+2)/(√5-2) , 

y=(√5-2)/(√5+2)のとき，x^3+y^3の値を求めよ。


x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)より，

x+y={(√5+2)^2+(√5-2)^2}/{(√5+2)(√5-2)}=18 , xy=1

よって，x^3+y^3=18^3-3・1・18=5778


練習問題１１：　次の値を求めよ。

(1) x=779のとき，x^2-1358x+679^2の値。

(2) x=456 , y=172のとき，x^2+4xy+4y^2-10の値。

(3) √2/(√2-1)の整数部分をa，小数部分をbとしたとき，a+b+b^2の値。

(4) x=√2-1のとき，x^5-(1/x^5)の値。































練習問題１１：　解答

(1) x=779のとき，x^2-1358x+679^2の値。

x^2-1358x+679^2=(x-679)^2=(779-679)^2=10000

(2) x=456 , y=172のとき，x^2+4xy+4y^2-10の値。

x^2+4xy+4y^2-10=(x+2y)^2-10=(456+344)^2-10=639990

(3) √2/(√2-1)の整数部分をa，小数部分をbとしたとき，a+b+b^2の値。

√2/(√2-1)={√2(√2+1)}/{(√2-1)(√2+1)}=2+√2

1<√2<2より，3<2+2√2<4であるから，a=3

また，b={√2/(√2-1)}-a=2+√2-3=√2-1

よって，a+b+b^2=a+b(1+b)=3+(√2-1)(1+√2-1)=5-√2

(4) x=√2-1のとき，x^5-(1/x^5)の値。

x^5-(1/x^5)={x^2-(1/x^2)}{(x^3+(1/x^3)}+{x-(1/x)}

x+(1/x)=√2-1+{1/(√2-1)}=√2-1+{1(√2+1)/{(√2-1)(√2+1)}

=√2-1+(√2+1)=2√2

x-(1/x)=√2-1-(√2+1)=-2

x^2-(1/x^2)={x+(1/x)}{x-(1/x)}=2√2・(-2)=-4√2

x^3+(1/x^3)={x+(1/x)}^3-3{x+(1/x)}=16√2-6√2=10√2

x^5-(1/x^5)=-4√2・10√2+(-2)=-82


パート9はこれにて終了です。お疲れ様でした。

「数学Ⅰ　パート10」から2次関数ついて教えます。

パート9に関して，何か質問などあれば気軽におききください。