アドバンスの冒険日誌

▼　2次方程式の解の公式　▼

中学校で2次方程式の解の公式を学んだが，

ここでは解の公式の導き方を紹介する。

（※　b≠0のとき，a÷b=c⇒a=bcが成り立つ。

a≠0のとき，0÷a=xとすると，

0=ax　a≠0であるから，x=0

よって，0÷a=0となる。）

ax^2+bx+c=0（a≠0）の両辺をaで割ると，

x^2+(b/a)x+(c/a)=0/a=0

(c/a)を移項すると，

x^2+(b/a)x= -(c/a)

両辺に{b/(2a)}^2を加えると，

x^2+(b/a)x+{ b/(2a)]^2= -(c/a)+{ b/(2a)}^2

左辺を平方完成させ，右辺を計算すると，

[x+{b/(2a)}]^2=(b^2-4ac)/(4a^2)

x+{b/(2a)} =±√{(b^2-4ac)/(4a^2)}=±[{√(b^2-4ac)}/{√(4a^2)}]

=±[{√(b^2-4ac)}/(2|a|)]

∴ x+{ b/(2a)}=±[{√(b^2-4ac)}/(2a)]

x= - {b/(2a)}±[{√(b^2-4ac)}/(2a)]={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)

よって，次のことがいえる。

【　ax^2+bx+c=0（a≠0）のとき，

x = {-b±√(b^2-4ac)}/(2a)　】


▼　ax^2+2b'x+c=0（a≠0 , b'≠0）の解の公式　▼

この公式は覚えなくてもよいが，

覚えておくことによって計算が楽になる。

（※　b'はbを微分した値ではない。）

2次方程式の解の公式より，

x= [-2b'±√{(4b')^2-4ac}]/(2a)

= [-2b'±√{4(b'^2-ac)}]/(2a)

= {-2b'±2√(b'^2-ac)}/(2a)

= [2{-b'±√(b'^2-ac)}]/(2a)

= {-b'±√(b'^2-ac)}/a

よって，次のことがいえる。

【　ax^2+2b'x+c=0（a≠0 , b'≠0）のとき，

x= { -b'±√(b'^2-ac) }/a　】


▼　2次方程式の解の種類　▼

ax^2+bx+c=0（a≠0）において，D=b^2-4acとすると，

【　D>0 ⇒ 異なる2つの実数解をもつ。

D=0 ⇒ 重解（1つの実数解）をもつ。

D<0 ⇒ 実数解をもたない。　】

ax^2+2b'x+c=0（a≠0）においては，D/4=(b')^2-acと表せる。

補足： ax^2+bx+c=0（a≠0）のとき，D=b^2-4acを判別式という。


▼　不等式について　▼

不等号を用いた式を不等式という。

不等式には以下の3つの法則がある。


【　両辺に値を加えても引いても不等号の向きは変わらない。　】


例）　3<4　→　3+1<4+1 , 3-1<4-1

x≧3　→　x+2≧5 , x-2≧1


【　両辺に正の値をかけても割っても不等号の向きは変わらない。　】


例）　6<9　→　6・2<9・2 , 6÷3<9÷3

2x≧ -10 →　4x≧ -20 , x≧ -5


【　両辺に負の値をかけたり割ったりすると不等号の向きが変わる。　】


証明）　A≦Bとする。（A<B , A>B , A≧Bも同様にして

証明することが可能）A≦Bの両辺からBを引いて，A-B≦0

さらにその両辺からAを引いて，-B≦ -A

a≦bとb≧aは同じ意味であるから，

-B≦ -Aは-A≧ -Bと書き換えられる。

よって，A≦Bの両辺に-1をかけると

-A≧ -Bとなり，不等号の向きが変わる。ちなみに，

両辺に-1以外の負の数をかけても不等号の向きが変わる。

a>0とする。「-aをかける」は「-1をかけた後にaをかける」

と言い換えられる。したがって，両辺に-1以外の

負の値をかけても不等号の向きが変わる。

負の値で割る場合についても説明しよう。

「-aで割る」は「-1で割った後にaで割る」と言い換えられる。

x÷(-1)=x÷{1/(-1)}=x・{(-1)/1}=x・(-1)より，

-1で割ることと，-1をかけることは同じ意味である。

したがって，「-1で割った後にaで割る」は

「-1をかけた後にaで割る」と言い換えられる。

よって，「-aで割る」は「-1をかけた後にaで割る」と

言い換えられるため，不等式の両辺を

負の値で割ると不等号の向きが変わる。


パート14はこれで終了とします。

パート15では2次不等式を扱います。