アドバンスの冒険日誌

▼　三角比（sin , cos , tan）の定義　▼

【　直角三角形ABCにおいて，∠ACB=90° , ∠ABC=θ（0°<θ<90°） , 

AB=r , BC=x , AC=yのとき，

sinθ=y/r , cosθ=x/r , tanθ=y/xと定義する。

sinθ= y/rの両辺にrをかけるとy=rsinθ ,

cosθの両辺にrをかけるとx=rcosθ ,

tanθの両辺にxをかけるとy=xtanθとなる。　】

「sine」は「サイン」，「cosine」は「コサイン」，

「tangent」は「タンジェント」と読むが，

「sine」は「sin」 ， 「cosine」は「cos」，「tangent」は「tan」と略して書く。

また，「θ」は「シータ」と読む。

ゆえに，「sinθ」は「サインシータ」，

「cosθ」は「コサインシータ」，

「tanθ」は「タンジェントシータ」と読む。


▼　直角三角形の辺の長さの比（必ず暗記すること）　▼

【　45°，45°，90°の三角形（直角二等辺三角形）の

辺の長さの比は1:1:√2

30°，60°，90°の三角形の辺の長さの比は1:2:√3　】


▼　30°,45°,60°の三角比（暗記推奨）　▼

【　sin30°=1/2 , sin45°=1/√2 , sin60°=√3/2 

cos30°=√3/2 , cos45°=1/√2 , cos60°=1/2

tan30°=1/√3 , tan45°=1 , tan60°=√3

※三角比において，分母は有利化してもしなくても良い。　】


▼　三角比の相互関係（0°<θ<90°）　▼

sinθ・sinθ=sin^2θと表す。(sinθ)^2とは書かない。

（カッコをつけるのが面倒なため）

同様に，cosθ・cosθ=cos^2θ ,

tanθ・tanθ=tan^2θと表す。

上記の△ABCにおいて，

sin^2θ+cos^2θ=(y/r)^2+(x/r)^2

=(y^2/r^2)+(x^2/r^2)=(y^2+x^2)/(r^2)

ピタゴラスの定理より，x^2+y^2=r^2

r>0 , すなわちr≠0より，(y^2+x^2)/(r^2)=1

よって，sin^2θ+cos^2θ=1


sinθ/cosθ=(y/r)/(x/r)=(y/r)÷(x/r)=(y/r)・(r/x)=y/x=tanθ


1+tan^2θ=1+(sinθ/cosθ)^2=1+(sin^2θ/cos^2θ)

=(cos^2θ/cos^2θ)+(sin^2θ/cos^2θ)

=(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ

=1/cos^2θ

よって，以下のことがいえる。

【　0°<θ<90°のとき，

①　sin^2θ+cos^2θ=1

②　tanθ=sinθ/cosθ

③　1+tan^2θ=1/cos^2θ　】


▼　90°-θ（0°<θ<90°）の三角比　▼

上記の△ABCにおいて，sinθ=y/r , sin(90°-θ)=x/r ,

cosθ=x/r , cos(90°-θ)=y/r , tanθ=y/x , tan(90°-θ)=x/y

となるから，以下のことがいえる。

【　①　sin(90°-θ)=cosθ 

②　cos(90°-θ)=sinθ

③　tan(90°-θ)=1/tanθ　】


▼　三角比の拡張　▼

θを0°≦θ≦180°まで拡張した三角比について考えてみよう。

座標平面上に原点Oを円の中心とする半径rの半円の円を書く。

さらに，原点Oと円周上の1点を通り，

斜辺=rとなるような直角三角形を書く。

このときの底辺をx , 高さをyとし，以下のことを定義する。

【　0°≦θ≦90°のとき，

①　sinθ=y/r

②　cosθ=x/r

③　tanθ=y/x

90°<θ≦180°のとき，

④　sinθ=y/r 

⑤　cosθ=(-x)/r= -(x/r) 

⑥　tanθ=y/(-x)= -(y/x)　】


「数学Ⅰ　パート18」へ続きます。（この続きから説明します）