アドバンスの冒険日誌

練習問題１７：　次の問いに答えよ。

(1)　0°≦θ≦180°のとき，sinθ=√2/2を満たすθを求めよ。

(2)　0°≦θ≦180°のとき，cosθ= -{3/(2√3)}を満たすθを求めよ。

(3)　0°≦θ≦180°とする。tanθ= -√2のとき，sinθの値を求めよ。

(4)　直線y= -(√3)xとx軸の正の向きがなす角θを求めよ。

(5) {(cosθ)/(1-sinθ)}+{(cosθ)/(1+sinθ)}を計算せよ。

ヒント：分子は定数になる。

(6)　tan^2θ-sin^2θを計算せよ。

ヒント：分数の形にはならない。

(7)　0°≦θ≦180°のとき，

不等式 tan^2θ+(1/cosθ)> -(2-[3/{4(cos^2θ)}])を解け。




























練習問題１７：　解答

(1)　0°≦θ≦180°のとき，sinθ=√2/2を満たすθを求めよ。

sinθの分子を有利化すると，sinθ=√2/2=(√2・√2)/(2・√2)=2/(2√2)=1/√2

よって，θ=45° , 135°

↑sin(180°-θ)=sinθより，sin45°=sin135°が成り立つ。

(2)　0°≦θ≦180°のとき，cosθ= -{3/(2√3)}を満たすθを求めよ。

cosθの分母を有利化すると，cosθ= -{3/(2√3)}

= -{(3・√3)/(2√3・√3)}= -{(3√3)/6}= -(√3/2)

よって，θ=150°

(3)　0°≦θ≦180°とする。tanθ= -√2のとき，sinθの値を求めよ。

1+tan^2θ=1/cos^2θより，1+(-√2)^2=3=1/cos^2θ

3cos^2θ=1　tanθ<0より，90°<θ≦180°であるからcosθ<0

よって，cosθ= -√(1/3)

sin^2θ+cos^2θ=1より，

sin^2θ+{-√(1/3)}^2=sin^2θ+(1/3)=1

sinθ>0より，sinθ=√{1-(1/3)}=√(2/3)

（sinθ=(√6)/3と答えても良い）

(4)　直線y= -(√3)xとx軸の正の向きがなす角θを求めよ。

x=1のとき，y= -√3であるからtanθ= -√3

よって，θ=120°

(5) {(cosθ)/(1-sinθ)}+{(cosθ)/(1+sinθ)}を計算せよ。

{(cosθ)/(1-sinθ)}+{(cosθ)/(1+sinθ)}

= {cosθ(1+sinθ)+cosθ(1-sinθ)}/{(1-sinθ)(1+sinθ)}

= (cosθ+sinθcosθ+cosθ-sinθcosθ)/(1-sin^2θ)

= (2cosθ)/cos^2θ

= 2/cosθ

(6)　tan^2θ-sin^2θを計算せよ。

tan^2θ-sin^2θ=(sinθ/cosθ)^2-sin^2θ

=(sin^2θ/cos^2θ)-{(sin^2θcos^2θ)/cos^2θ}

=(sin^2θ-sin^2θcos^2θ/cos^2θ

={sin^2θ(1-cos^2θ}/cos^2θ

=(sin^2θ/cos^2θ)・(1-cos^2θ)

=tan^2θ(sin^2θ)

(7)　0°≦θ≦180°のとき，

不等式 tan^2θ+(1/cosθ)> -(2-[3/{4(cos^2θ)}])を解け。

tan90°の値は定義されていないから

（cosθが分母にあるから），θ≠90°・・・①

tan^2θ=(sinθ/cosθ)^2=sin^2θ/cos^2θであるから，

(sin^2θ/cos^2θ)+(1/cosθ)> -(2-[3/{4(cos^2θ)}])

右辺を移項すると，

(sin^2θ/cos^2θ)+(1/cosθ)-{3/(4cos^2θ)}+2>0

両辺をcos^2θ倍すると，

sin^2θ+cosθ-(3/4)+2cos^2θ>0

sin^2θ+cos^2θ=1より，sin^2θ=1-cos^2θであるから

1-cos^2θ+cosθ-(3/4)+2cos^2θ

=cos^2θ+cosθ+(1/4)={cosθ+(1/2)}^2>0

よって，cosθ≠ -(1/2)

すなわち，θ≠120°・・・②

①，②及び条件より

0°≦θ<90° , 90°<θ<120° , 120°<θ≦180°



「数学Ⅰ　パート20」から正弦定理，余弦定理，

三角形の面積，ヘロンの公式について教えます。

パート17～19に関して，何か質問などあれば気軽におききください。