アドバンスの冒険日誌

【　多角形において，頂点は大文字のアルファベットで表し，

頂点に対する対辺はその頂点のアルファベットを小文字で表す。　】


▼　正弦定理　▼

△ABCは円に内接しているとする。

また，この△ABCの外接円の半径はRとする。

i )　0°<A<90°のとき

円周角の定理を利用するとsinA=a/2Rと求まるので，

a/sinA=a/{a/(2R)}=a÷{a/(2R)}=a・{(2R)/a}=2R

ii )　A=90°のとき

a/sinA=a/sin90°=a/1=a=2R

（※A=90°⇔aが外接円の直径，すなわち2Rと等しい）

iii )　90°<A<180°のとき

a/sin(180°-A)=a/sinAであるから，

a/sinA=a/{a/(2R)}=a÷{a/(2R)}=a・{(2R)/a}=2R

文字を置き換えると，b/sinB=2R , c/sinC=2Rも成り立つと分かる。

よって，以下のことがいえる。

【　△ABCの外接円の半径をRとすると，

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rが成り立つ。　】


▼　余弦定理（第2余弦定理）　▼

i )　0°<A<90°のとき

頂点Cから垂線を引き，対辺との交点をHとすると，

BH=c-AH=c-bcosA , CH=bsinA

ピタゴラスの定理より，

a^2=CH^2+BH^2=(bsinA)^2+(c-bcosA)^2

=(b^2)sin^2A＋c^2-2bccosA+(b^2)cos^2A

=(b^2)(sin^2A+cos^2A)+c^2-2bcsoA

=b^2+c^2-2bccosA

ii )　A=90°のとき

b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-2bccos90°=b^2+c^2=a

iii )　90°<A<180°のとき

頂点Cから垂線を引き，対辺の延長上との交点をHとすると，

CH=bsin(180°-A)=bsinA , BH=AB+AH=c+bcos(180°-A)=c-bcosA

ピタゴラスの定理より，

a^2=CH^2+BH^2=(bsinA)^2+(c-bcosA)^2

=(b^2)sin^2A+c^2-2bccosA+(b^2)cos^2A

=(b^2)(sin^2A+cos^2A)+c^2-2bccosA

=b^2+c^2-2bccosA

文字を置き換えると，b^2=c^2+a^2-2cacosB ,

c^2=a^2+b^2-2abcosCも成り立つと分かる。

よって，以下のことがいえる。

【　△ABCにおいて，a^2=b^2+c^2-2bccosA ,

b^2=c^2+a^2-2cacosB , c^2=a^2+b^2-2abcosCが成り立つ。

また，これらの式を変形すると，

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) , cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca) ,

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)が成り立つ。　】

（※第1余弦定理とは，a=ccosB+bcosC , b=ccosA+acosC ,

c=bcosA+acosBのことをいう。これは証明するまでもない。）


▼　三角形の面積　▼

△ABCの面積をSとすると，

S=(1/2)・c・bsinA=(1/2)bcsinA

S=(1/2)・c・asinB=(1/2)casinB

S=(1/2)・a・bsinC=(1/2)absinC

よって，以下のことがいえる。

【　△ABCの面積をSとすると，

S=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB=(1/2)absinCが成り立つ。　】


ヘロンの公式を証明するにはかなりの文字数が必要であるため，

パート21で説明します。パート20はこれで終了とします。