アドバンスの冒険日誌

▼　ヘロンの公式　▼

△ABCにおいて，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)であるから，

sin^2A=1-cos^2A=(1+cosA)(1-cosA)

=[1+{(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}][1-{(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}]

={(b^2+c^2-a^2+2bc)/(2bc)}{(-b^2-c^2+a^2+2bc)/(2bc)}

=[{(b+c)^2-a^2}/(2bc)][{a^2-(b-c)^2}/(2bc)]

=[{(b+c+a)(b+c-a)}/(2a)][{(a+b-c)(a-b+c)}/(2bc)]

={(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)}/{4(b^2)c^2}

ここでa+b+c=2sとすると，-a+b+c=a+b+c-2a=2s-2a=2(s-a) ,

a+b-c=a+b+c-2c=2s-2c=2(s-c) , a-b+c=a+b+c-2b=2s-2b=2(s-b)

となるから，

{(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)}/{4(b^2)c^2}

={2s・2(s-a)・2(s-b)・2(s-c)}/{4(b^2)c^2}

={16s(s-a)(s-b)(s-c)}/{4(b^2)c^2}

={4s(s-a)(s-b)(s-c)}/{(b^2)c^2}

sinA>0より，

sinA=√[{4s(s-a)(s-b)(s-c)}/{(b^2)c^2}]

=[2√{s(s-a)(s-b)(s-c)}]/(bc)

△ABCの面積をSとすると，

S=(1/2)bcsinAである。この式の右辺に

sinA=[2√{s(s-a)(s-b)(s-c)}]/(bc)を代入すると，

S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}が導かれる。

よって，以下のことがいえる。

【　△ABCの面積をSとすると，

S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}が成り立つ。

ただし，s=(a+b+c)/2である。　】


例題１８：　半径rの円に内接する正n角形の面積及び

外接する正n角形の面積を，それぞれrとnを用いて表せ。


半径rの円に内接する正n角形の面積をSとすると，

S=(1/2)・r・rsin(360°/n)・n={(1/2)nr^2}sin(360°/n)

半径rの円に外接する正n角形の面積をS'とすると，

S'=(1/2)・r・2rtan(180°/n)・n=(nr^2)tan(180°/n)

※数学Ⅱで微分を扱うので，現高1以下の学生は

この3行下の文章の内容を理解できなくても良い。

微分についての知識がある人が閲覧していることを想定して，

誤解を招かないために一言補足を加える。

S'はSと区別するために用いたのであって，Sを微分した値ではない。

以上。


入力文字数が上限を超えてしまうため，

練習問題１８及びその解答はパート22に載せます。

パート21はこれで終了とします。