アドバンスの冒険日誌

②　解答（ハードモード）

(1)　|3-π|+|π-√10|を計算せよ。（パート2より）

|3-π|+|π-√10|= -(3-π)+{-(π-√10)}=π-3+√10-π=√10-3

(2)　(a-b)(a^2+b^2)(a+b)(a^4+b^4)を展開せよ。（パート3より）

(a-b)(a^2+b^2)(a+b)(a^4+b^4)

=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)

=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)

=(a^4-b^4)(a^4+b^4)

=a^8-b^8

(3)　x^4+4を因数分解せよ。（パート4より）

x^4+4=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)

(4)　{(√2+√3)^124}(√2-√3)^123を計算せよ。（パート6より）

{(√2+√3)^124}(√2-√3)^123

=[{(√2+√3)(√2-√3)}^123](√2+√3)

= {(-1)^123}(√2+√3)

= -1(√2+√3)

= -√2-√3

(5)　√{2√(7-4√3)}の3重根号を外せ。（パート8より）

√{2√(7-4√3)}=√{2√(7-2√12)}=√{2(2-√3)}=√(4-2√3)=√3-1

(6)　(215^2・2-115・4・215+2・115^2)^2を計算せよ。（パート9より）

x=215 , y=115とすると，

(215^2・2-115・4・215+2・115^2)^2

=(2x^2-4xy+2y^2)^2

={2(x^2-2xy+y^2)}^2

={2(x-y)^2}^2

={2(215-115)^2}^2

=20000^2

=4億

(7)　f(x+2)=2x+3のとき，f(5)の値を求めよ。（パート10より）

f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1

よって，f(5)=2・5-1=9

(8)　x^2+x√12-3を平方完成させよ。（パート11より）

x^2+x√12-3

=x^2+(2√3)x-3

=(x+√3)^2-6

(9)　x^2+4ax+3の最小値が-5となるような定数aの値を求めよ。（パート12より）

x^2+4ax+3=(x+2a)^2-4a^2+3= -5

4a^2=8

a=±√2

(10)　2次方程式 x^2+2mx+2m+3=0が重解をもつとき，定数mの値を求めよ。

2次方程式 x^2+2mx+2m+3=0の判別式をDとすると，

D/4=m^2-(2m+3)=m^2-2m-3=(m+1)(m-3)=0

よって，m= -1 , 3

(11)　0°≦θ≦180°のとき，2次方程式 sin^2θ-cosθ-(5/4)=0を解け。（パート17より）

sin^2θ-cosθ-(5/4)

=(1-cos^2θ)-cosθ-(5/4)

= -cos^2θ-cosθ-(1/4)

=0

すなわち，cos^2θ+cosθ+(1/4)=0

{cosθ+(1/2)}^2=0

cosθ= -(1/2)

よって，θ=120°

(12)　△ABCにおいて，a:b:c=2:3:4であり，△ABCの

外接円の半径が√15であるとき，aの値を求めよ。（パート20より）

a=2k , b=3k , c=4k （k>0）とすると，

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

=(9k^2+16k^2-4k^2)/(24k^2)

=7/8

sinA=√(1-cos^2A)=√(15/8^2)=√15/8

正弦定理より，a/(√15/8)=2√15

a=2√15・(√15/8)=15/4

(13)　データ 3 , a , 4 , 7 , 11の標準偏差がaであるとき，aの値を求めよ。（パート23より）

{(9+a^2+16+49+121)/5} - {(3+a+4+7+11)/5}^2=a

{(9+a^2+16+49+121)/5} - {(3+a+4+7+11)/5}^2-a

={(a^2+195)/5} - {(a^2+50a+625)/25} -a

={(5a^2+975)/25} - {(a^2+50a+625)/25} - {(25a)/25}

=(4a^2-75a+350)/25

=0

4a^2-75a+350=0

a={75±√(75^2-4・4・350)}/8=(75±√25)/8=(75±5)/8

よって，a=35/4 , 10


お疲れ様でしたー。