アドバンスの冒険日誌

▼　順列について　▼

異なるn個のものから異なるr個のものを

選んで1列に並べる配列を「順列」という。（但し，n≧r>0 , n∈N , r∈N）

「N」は「自然数の集合」を意味し，「∈」は「属する」という意味である。

したがって，「n∈N」とは，

「nは自然数の集合に属する（nは自然数である）」という意味になる。

順列の総数はn(n-1)(n-2)...(n-r+1)通り存在し，

n(n-1)(n-2)...(n-r+1)をnPrで表す。

【　nPr=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)（但し，n≧r>0 , n∈N , r∈N）　】

※　1個のものから1個を選んで1列に並べる方法は

1通りであるから，1P1=1である。

また，異なるn個のものから0個を選んで1列に並べる方法は

並べないという1通りの方法があるから，nP0=1である。


例題２：　6枚のカードから3枚を取って1列に並べる方法は何通りあるか。

6P3=6・5・4=120

よって，120通り。


▼　!（階乗）について　▼

nPn，すなわち1から自然数nまでの自然数の積をn!で表し，

「nの階乗（かいじょう）」と読む。

【　n!=n(n-1)(n-2) ... 3・2・1　（但し，n≧2 , n∈N）　】

例えば，4!=4・3・2・1=24となる。

※　n!=nPnであるから，1!=1P1=1である。

また，(n-1) !=n!/nであり，

nに1を代入すると0!=1!/1=1となる。


例題３：　6人全員を1列に並べる方法は何通りあるか。


6!=6・5・4・3・2・1=720

よって，720通り。


▼　組み合わせについて　▼

異なるn個のものから異なるr個のものを選ぶ選び方を

「組み合わせ」という。（但し，n≧r>0 , n∈N , r∈N）

順序は考慮しないので，組み合わせの総数は

nPr/r!通り存在し，nPr/r!をnCrで表す。

nPr/r!の分母と分子にそれぞれ(n-r)!をかけると，

{ nPr・(n-r) ! }/{ r!(n-r) ! }=n!/{ r!(n-r) ! } となる。

【　nCr=nPr/r! , nCr=n!/{ r!(n-r) ! }　（但し，n≧r>0 , n∈N , r∈N）　】

※　異なるn個のものから0個を選ぶ方法は選ばないという

1通りの方法があるから，nC0=1である。　


例題４　10人の生徒から1人の委員長を選ぶ方法は何通りあるか。


10C4=(10・9・8・7)/(4・3・2・1)=210

よって，210通り。


例題５　n≧r>0 , n∈N , r∈Nのとき，nCr=nC(n-r)を証明せよ。


nCn-r=n!/[(n-r) !{ n-(n-r) } !]=n!/{ (n-r) !r! }=nCr


練習問題：　次の問いに答えよ。

(1)　1000P2の値を求めよ。

(2)　7人の人から3人を選んで1列に並ばせる方法は何通りあるか。

(3)　方程式  6C4=6 !/(4 !x !)を解け。

(4)　100C98の値を求めよ。

(5)　8種類のメニューの中から3種類のメニューを選ぶ方法は何通りあるか。

(6)　方程式  nC2=36を解け。

























練習問題：　解答

(1)　1000P2の値を求めよ。

1000P2=1000・999=999000

(2)　7人の人から3人を選んで1列に並ばせる方法は何通りあるか。

7P3=7・6・5=210　よって，210通り。

(3)　方程式  6C4=6 !/(4 !x !)を解け。

x !=(6-4) !　よって，x=2

(4)　100C98の値を求めよ。

100C98=100C2=(100・99)/(2・1)=9900/2=4950

(5)　8種類のメニューの中から3種類のメニューを選ぶ方法は何通りあるか。

8C3=(8・7・6)/(3・2・1)=8・7=56　よって，56通り。

(6)　方程式  nC2=36を解け。

nC2={n(n-1)}/2=36

n(n-1)=n^2-n=72

n^2-n-72=(n+8)(n-9)=0

n≧2より，n=9


次回から数学Ⅱに入ります。

「数学Ⅱ　パート1」では二項定理について教えます。

「数学Ⅱを学ぶための準備　パート2」に関して，

何か質問などあれば気軽におききください。