アドバンスの冒険日誌

▼　二項定理　▼

組み合わせの考えを利用して，(a+b)^n（n∈N）の

展開式を求めてみよう。(a+b)^nはn個の因数(a+b)をもつ。

したがって，(a+b)^nの展開式の

それぞれの項におけるaとbの次数の和はnになる。

例えば，(a+b)^nの展開式のある項において，

aの次数が2ならばbの次数は(n-2)となる。

n個の因数(a+b)からbをr個選ぶ方法はnCr通りである。

したがって，(a+b)^nの展開式における {a^(n-r)} b^rの係数は

nCrとなる。よって，次のことがいえる。


【　(a+b)^n=a^n+nC1 {a^(n-1)} b^1+nC2 {a^(n-2)} b^2+...

...+nCr {a^(n-r)} b^r+......+nC(n-2)(a^2)b^(n-2)+

nC(n-1)(a^1) { b^(n-1)} +b^n　（但し，n∈N）　】


▼　(a+b+c)^nの展開式　▼

(a+b+c)^nの展開式における(a^p)(b^q)(c^r)の項の係数を求めてみよう。

(a+b+c)^nはn個の因数(a+b+c)をもつ。

したがって，(a+b)^nの展開式の

それぞれの項におけるaとbのcの次数の和はnになる。

したがって，p+q+r=nである。

n個の因数(a+b+c)からaをp個選ぶ方法はnCp通り。

残り(n-p)個の(a+b+c)の因数からbをq個選ぶ方法は(n-p)Cq通り。

残り(n-p-q)個の(a+b+c)の因数からcを全て選ぶ方法は1通り。

ゆえに，(a+b+c)^nの展開式における

(a^p)(b^q)(c^r)の項の係数は

nCp・(n-p)Cq・1

=[n!/ { p!(n-p) !} ][(n-p)!/ {q!(n-p-q)!} ]

=n!/ { p!q !(n-p-q) !}

=n!/(p!q!r!)となる。

よって，次のことがいえる。

【　(a+b+c)^nの展開式における

(a^p)(b^q)(c^r)の項の係数はn!/(p!q!r!)　

（但し，p+q+r=n , n∈N）　】


例題１：　(a+b+c)^7の展開式における(a^3)(b^2)(b^2)の項の係数を求めよ。


求める係数は7!/(3 !2!2!)=210


練習問題１及びその解答はパート2に載せます。