アドバンスの冒険日誌

練習問題１：　次の問いに答えよ。

(1)　{x-(2/x)}^6を展開せよ。

(2)　x>0 , n≧2のとき，(1+x)^n≧1+nx+ {(n(n-1)/2} x^2を証明せよ。

(3)　12^8を100で割った余りを求めよ。

(4)　(x^2-2x+3)^7の展開式におけるx^11の項の係数を求めよ。








































練習問題１：　解答

(1)　{x-(2/x)}^6を展開せよ。

{x-(2/x)}^6

=x^6+6C1(x^5) {-(2/x)} ^1+6C2(x^4) {-(2/x)} ^2+

6C3(x^3) {-(2/x)} ^3+6C4(x^2) {-(2/x)} ^4+

6C5(x^1) {-(2/x)} ^5+ {-(2/x)} ^6

=x^6-12x^4+60x^2-160+(240/x^2)-(192/x^4)+(64/x^6)

(2)　x>0 , n≧2のとき，(1+x)^n≧1+nx+ {n(n-1)/2} x^2を証明せよ。

i )　n≧3のとき

(1+x)^n=1^n+nC1 {1^(n-1)}x^1+nC2 {1^(n-2)} x^2+...

...+nC(n-1)(1^1 ) {x^(n-1)} +nCn(x^n)

=1+nx+ {n(n-1)/2} x^2+......+nC(n-1)(1^1) {x^(n-1)} +nCn(x^n)

>(1+x)^n≧1+nx+ { n(n-1)/2} x^2（∵ x>0）

※　「∵」は「なぜならば」という意味である。

ii )　n=2のとき

(1+x)^n=1^2+nC1(x^1)+nC2(x^2)=1+nx+{n(n-1)/2} x^2

よって，x>(1+x)^n≧1+nx+{n(n-1)/2} x^2が成り立つ。

(3)　12^8を100で割った余りを求めよ。

12^8+(10+2)^8=10^8+8C1(10^7)(2^1)+8C2(10^6)(2^2)+...

...+8C7(10^1)(2^7)+2^8

=10^2 {10^6+8C1(10^5)(2^1)+......+8C6(2^6)} +10496

=10^2 {10^6+8C1(10^5)(2^1)+......+8C6(2^6)+104} +96

10^6+8C1(10^5)(2^1)+......+8C6(2^6) は整数であるから，

10^2 {10^6+8C1(10^5)(2^1)+......+8C6(2^6)+104} は100の倍数。

よって，求める余りは96

(4)　(x^2-2x+3)^7の展開式におけるx^11の項の係数を求めよ。

p≧0 , q≧0 , r≧0 , p+q+r=7とすると，

(x^2-2x+3)^7の展開式におけるx^11の項は

{7!/(p!q!r!)} {(x^2)^p} {(-2x)^q} (3^r)

={7!/(p!q!r!)} {(x^(2p)} {(-2)^q} (x^q)(3^r)

={7!/(p!q!r!)} {(x^(2p+q)} {(-2)^p} (3^r)

となる。

2p+q=11 , p≧0 , q≧0 , r≧0 , p+q+r=7の解は

p=4 , q=3 , r=0 または p=5 , q=1 , r=1

よって，求める係数は

{7!/(4!3!0!)} (1^4) {(-2)^3} (3^0)+

{7!/(5!1!1!} (1^5) {(-2)^1} (3^1)

= -280+(-252)

= -532


パート2はこれにて終了です。お疲れ様でした。

「数学Ⅱ　パート3」から整式の除法と分数式について教えます。

パート1 , 2に関して，何か質問などあれば気軽におききください。