アドバンスの冒険日誌

▼　整式の除法　▼

単項式と多項式を合わせて整式という。

整式の除法は，算数で習った割り算の筆算と同様にして

計算することができる。しかし，ここでは

筆算を表記することができないので

筆算を用いずに説明することにする。


A=BQ+Rのとき，Qを，「AをBで割った商」といい，

Rを「AをBで割った余り」という。

整式の除法において，次のことが成り立つ。

【　A÷Bの商がQ , 余りがRであるとき，A=BQ+Rが成り立つ。

また，Rは0か，Bより次数の低い整式である。　】


整式の除法を計算する方法：

①　割る式，割られる式は降べきの順に直してから割り算を行う。

②　余りが0になるか，割られる式が割る式の次数より

低くなったら計算終了である。

※　A÷BのAを「割られる式」，Bを「割る式」という。


例題２：　(-12x+9+2x^3)÷(2+x^2-3x)の商と余りを求めよ。


(-12x+9+2x^3)÷(2+x^2-3x)

=(2x^3-12x+9)÷(x^2-3x+2)

(2x^3-12x+9)÷(x^2-3x+2)の商をQ1 , 余りをR1とすると，

2x^3-12x+9=Q1(x^2-3x+2)+R1・・・①

2x^3=Q1(x^2)　Q1=2x

すなわち，2x^3-12x+9=2x(x^2-3x+2)+(6x^2-16x+9)・・・②

(6x^2-16x+9)÷(x^2-3x+2)の商をQ2 , 余りをR2とすると，

6x^2-16x+9=Q2(x^2-3x+2)+R2

6x^2=Q2(x^2)　Q2=6

すなわち，6x^2-16x+9=6(x^2-3x+2)+(2x-3)・・・③

②，③より，2x^3-12x+9=2x(x^2-3x+2)+6(x^2-3x+2)+(2x-3)

=(2x+6)(x^2-3x+2)+(2x-3)・・・④

①，④より，求める商は2x+6 , 余りは2x-3となる。

※ここでは筆算を表記することができないため，

筆算の理屈を利用して解いた。

実際に解く際は，筆算を行うことをすすめる。


▼　分数式　▼

分母に文字を含む式を分数式という。

A≠0 , B≠0 , C≠0のとき，

A/B=(A/B)・(C/C)=(AC)/(BC)

よって，次のことがいえる。

【　A≠0 , B≠0 , C≠0のとき，(AC)/(BC)=A/C　】

(AC)/(BC)からA/Bへ導くことを「約分する」といい，

これ以上約分することのできない分数式を「既約分数式」という。

分数式の分母や分子を共通因数でくくったり，

因数分解をすることによって

分数式を約分することができる。

また，分数式の四則計算は分数の四則計算と

同様にして計算することができる。

分数式の加法と減法では，分母を展開する必要はない。


算数の復習（小学4年生レベル）：

「A/B」とは，「A÷B」のことである。

例えば，「8/3」は「8÷3」を意味する。


今さらこのような説明をした理由は

練習問題を解くと分かるだろう。


例題３：　(-2x+2)/(3x-3)を約分せよ。


(-2x+2)/(3x-3)={-2(x-1)}/{3(x-1)}= -(2/3)

※　分母が0になってはいけないが，それは既知として良い。

したがって，「x≠1のとき」のような注釈は不要である。


練習問題２：　x^3+x^2-x+2を整式Bで割ると，商がx-1 ,

余りが2x+1となるとき，整式Bを求めよ。


練習問題３：　次の分数式を簡単にせよ。

(1)　(3x+6)/(-x-2)

(2)　(x^2+5x+6)/(x^2-2x-8)

(3)　{(x^2-2)/(x+2)} - {2/(x+2)}

(4)　{(2x-3)/(x^2-3x+2)} - {(3x-2)/(x^2-4)}

(5)　1+(1/[1+{1/(1+[1/{1+(1/x)}])}])


練習問題２および練習問題３の解答はパート4に載せます。