アドバンスの冒険日誌

▼　恒等式について　▼

恒等式とは，あらゆる変数にどのような値を

代入しても成り立つ等式のことである。

展開・因数分解の公式などといった

式は全て恒等式である。

恒等式には次のような性質がある。

【　A=Bが恒等式　⇔　両辺の同じ次数の項の係数が等しい。　】

恒等式を成立させる方法は主に2つある。

【　係数比較法・・・両辺の同じ次数の項の係数を等しくさせる。

数値代入法・・・変数に数値を代入する。　】


▼　等式・不等式の証明　▼

A=Bを証明するには，次の方法を利用する。

【　①　A-B=0を導く。

②　Aを変形させてBを導く。

③　Bを変形させてAを導く。

④　AとBを変形させて同じ式を導く。　】

※　ただ単に，A-B=0と書いて証明終了としてはいけない。

等式を証明する上で，途中式は必要不可欠である。

虚数は次回で扱うが，虚数についての知識がある方は

カッコ内の文章を読んでもらいたい。

（虚数の奇数乗は虚数となる。

つまり，虚数の奇数乗には

大小関係がないので，不等式は

一般に実数の範囲で扱う。

したがって，「xは実数である」といった

注釈をする必要はない。）


不等式の証明は①と同様にして証明できる。

また，実数を2乗すれば必ず0以上になるから，

A≧0を証明するには，A=X^2+Y^2+・・・を導けば良い。


▼　相加平均と相乗平均の大小関係について　▼

a≧0 , b≧0のとき，次のことが成り立つ。

【　①　a^2>b^2⇔a>b

②　a^2≧b^2⇔a≧b

③　a+b≧2√(ab)　（等号はa=bのときに成り立つ。）　】

③の証明：②より，a+b≧2√(ab)を示すには

(a+b)^2≧{2√(ab)}^2を示せば良い。

(a+b)^2-{2√(ab)}^2=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2≧0

よって，a+b≧2√(ab)が成り立つ。a+b=2√(ab)となるとき，

a+b-2√ab=(√a-√b)^2=0　すなわち，a=b //

(a+b)/2をaとbの相加平均，√(ab)をaとbの相乗平均という。

③の両辺を2で割ると，(a+b)/2≧√(ab)が導ける。

これは，相加平均と相乗平均の大小関係を表している。

③は，(a+b)/2≧√(ab)の両辺を2倍した式であるから，

相加平均と相乗平均の大小関係を利用した式であるといえる。

したがって，(a+b)/2≧√(ab)や③を利用して不等式を証明する際は

「相加平均と相乗平均の（大小）関係より」と添えれば良い。


▼　絶対値の応用　▼

a , bを実数としたとき，次のことが成り立つ。

【　④　|a|≧a

⑤　|a|≧ -a

⑥　|a|=aまたは-aであるから，|a|^2=a^2

⑦　⑥より，|ab|=|a| |b|

⑧　⑥より，|a/b|=|a|/ |b|　】


例題４：　a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)を証明せよ。


右辺=a^3-3(a^2)b+3ab^2-b^3+3(a^2)b-3ab^2=a^3-b^3=左辺 //


例題５：　x+(1/x)≧2を証明せよ。


相加平均と相乗平均の大小関係より，

x+(1/x)≧2√{x(1/x)}=2 //

※　「数学Ⅱ　パート3」でも述べたが，

「分母≠0」は既知としていいので，

「x≠0」という注釈をする必要はない。


練習問題４：　次の等式や不等式を証明せよ。

(1)　a+b+c=0のとき，a^2-bc=b^2-ac

(2)　a/b=c/dのとき，(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(c^2-d^2)/(c^2+d^2)

(3)　a^2+b^2≧2(a+b-1)

(4)　a>0 , b>0のとき，√a+√b>√(a+b)

(5)　|a-b|≦|a|+ |b|


練習問題５：　a>0のとき，6a+{(3-2a)/(2a)}の最小値を求めよ。


練習問題４および練習問題５の解答はパート6に載せます。