アドバンスの冒険日誌

▼　練習問題４及び練習問題５の解答　▼

練習問題４：　次の等式や不等式を証明せよ。

(1)　a+b+c=0のとき，a^2-bc=b^2-ac

a^2-bcにa= -b-cを代入すると，

(-b-c)^2-bc=b^2+bc+c^2

b^2-acにa= -b-cを代入すると，

b^2-(-b-c)c=b^2+bc+c^2

よって，a^2-bc=b^2-ac //

(2)　a/b=c/dのとき，(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(c^2-d^2)/(c^2+d^2)

a/b=c/d=kとおくと，a=bk , c=d k

(a^2-b^2)/(a^2+b^2)にa=bkを代入すると，

{(b^2)k^2-b^2}/{(b^2)k^2+b^2}

={(b^2)(k^2-1)}/{(b^2)(k^2+1)}=(k^2-1)/(k^2+1)

(c^2-d^2)/(c^2+d^2)にc=dkを代入すると，

{(d^2)k^2-d^2)}/{(d^2)k^2+d^2)}

={(d^2)(k^2-1)}/{(d^2)(k^2+1)}=(k^2-1)/(k^2+1)

よって，(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(c^2-d^2)/(c^2+d^2) //

(3)　a^2+b^2≧2(a+b-1)

a^2+b^2-{2(a+b-1)}=a^2-2a+1+b^2-2a+1=(a-1)^2+(b-1)^2≧0 //

(4)　a>0 , b>0のとき，√a+√b>√(a+b)

√a+√b>0 , √(a+b)>0より，

(√a+√b)^2>{√(a+b)}^2

(√a+√b)^2-{√(a+b)}^2=a+2√(ab)+b-(a+b)=2√(ab)

a>0 , b>0より，2√(ab)>0

よって，√a+√b>√(a+b) //

(5)　|a-b|≦|a|+|b|

(|a|+|b|)^2-|a-b|^2

=|a|^2+2|a|| b|+|b|^2-(a-b)^2

=a^2+2|ab|+b^2-(a^2-2ab+b^2)

=2(|ab|+ab)≧0

|a-b|≧0 , |a|+| b|≧0より，

|a|+|b|≧|a-b|

すなわち，|a-b|≦|a|+|b| //


練習問題５：　a>0のとき，6a+{(3-2a)/(2a)}の最小値を求めよ。

a≠0より，6a+{(3-2a)/(2a)}

=6a+{3/(2a)}-1≧2√[6a・{3/(2a)}]-1=2√9-1=5

よって，6a+{(3-2a)/(2a)}の最小値は5


パート6はこれにて終了です。お疲れ様でした。

「数学Ⅱ　パート7」から複素数について教えます。

パート5 , 6に関して，何か質問などあれば気軽におききください。