アドバンスの冒険日誌

▼　複素数について　▼

数学Ⅰまでの範囲では，2次方程式を解く際に

√の中の値が負となった場合は「実数解なし」と答えれば良かったが，

数学Ⅱ以降ではそれが認められない。

数学Ⅱ以降では√(-1)=i と定義し，i を虚数単位という。

a∈R , b∈R(Rは実数を意味する）のとき，

a+biの形で表される数を複素数といい，

b≠0ならばa+biは虚数，

a=0 , b≠0ならばa+biは純虚数，

b=0ならばa+biは実数であるという。

また，aを実部，bを虚部といい，

a+biとa-biは互いに共役な複素数であるという。

複素数の計算方法は次のように定義される。


【　①　(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i　（複号同順）

②　(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

③　(c+di)/(a+bi)={(c+di)(a-bi)}/{(a+bi)(a-bi)}

={(ac+bd)/(a^2+b^2)}+{(ad-bc)/(a^2+b^2)} i

④　a+bi=c+di ⇔ a=cかつb=d　

⑤　0i =0　】

虚数に大小関係はない。i >0と仮定すると

i^2>0となるはずだが，i^2=-1であるから矛盾する。

同様に，i=0やi <0と仮定した場合も矛盾が生じる。

よって，虚数を実数で表すことはできないので

虚数に大小関係はない。したがって，

不等式に与えられた文字は実数であると考えて良い。


例題６：　1/(1+i)を計算せよ。


1/(1+i)={1(1-i)}/{(1+i)(1-i)}=(1-i)/(1-i^2)=(1-i)/2


練習問題６：　次の計算をせよ。但し，(7)はa+bi（a∈R , b∈R）の形にすること。

(1)　√(-16)

(2)　√(-18)

(2)　4+i-2-6i

(3)　(3+4i)^2

(4)　(2+i)(3-2i)

(5)　(5-3i)/(5+3i)

(6)　-100i^165-100i^166-100i^167-100i^167

(7)　√(-2i)




























練習問題６：　解答

(1)　√(-16)=(√16)i=4i

(2)　√(-18)=(√18)i=(3√2)i

(2)　4+i-2-6i=2-5i

(3)　(3+4i)^2=9+14i+16i^2=-7+14i

(4)　(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=8-i

(5)　(5-3i)/(5+3i)={(5-3i)(5-3i)}/{(5+3i)(5-3i)}

=(25-30i+9i^2)/(25-9i^2)=(16-30i)/34={2(8-15i)}/34=(8-15i)/17

(6)　-100i^165-100i^166-100i^167-100i^167

n∈Z（Zは自然数の集合を意味する）のとき，

i^(4n)=1 , i^(4n+1)=i , i^(4n+2)= -1 , i^(4n+3)= -i が

成り立つので，i^(4n)+i^(4n+1)+i^(4n+2)+i^(4n+3)=0となる。

よって，-100i^165-100i^166-100i^167-100i^167= (-100i^164)(i+i^2+i^3+i^4)=0

(7)　√(-2i)

√(-2i)=a+biより，{√(-2i)}^2=(a+bi)^2

-2i=a^2+2abi-b^2=(a^2-b^2)+2abi

したがって，a^2-b^2=0かつ，2ab= -2となれば良い。

2ab= -2より，ab= -1　すなわち，a= -(1/b)

a= -(1/b)をa^2-b^2=0に代入して

{-(1/b)}^2-b^2=(1/b^2)-b^2=0

b≠0であるから，(1/b^2)-b^2=0の両辺をb^2倍して

-b^4+1=0　b^4=1　b^2=±1　b∈Rより，b=±1

a= -(1/b)にb=±1を代入してa= -{1/(±1)}=∓1　（複号同順）

b=±1のとき，a=∓1であるから，a=±1のとき，b=∓1である。

よって，√(-2i)=±1∓i　（複号同順）


パート7はこれにて終了です。お疲れ様でした。

僕は最近，数学Ⅲまで予習する気になったので

数学Ⅱに関する日誌を投稿する頻度が減ります。

（もしかしたら二度と投稿しないかも）

申し訳御座いません。