アドバンスの冒険日誌

置換積分法の公式（不定積分版）：
∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt (x=g(t))

不定積分∫x√(1-x)dxを求めよ。

f(x)=x√(1-x)とすると
√(1-x)=t(t≧0)
⇔1-x=t^2(t≧0)
⇔x=1-t^2(t≧0)
よってf(x)=(1-t^2)t=f(1-t^2)
∴∫f(x)dx
=∫f(1-t^2)(1-t^2)'dt
=∫(1-t^2)t(-2t)dt
=2∫(t^4-t^2)dt
=2[{(t^5)/5}-{(t^3)/3}]+C
=2t^3[{(t^2)/5}-(1/3)]+C
=(2/15)t^3(3t^2-5)+C
=-(2/15)(2+3x)(1-x)√(1-x)+C

x=1-t^2(t≧0)のとき
dx/dt=-2t・・・①
また，
∫f(x)dx
=∫(1-t^2)tdx
=∫(1-t^2)t(-2t)dtより
dx=-2tdt・・・②
① , ②より
dx/dt=-2t⇔dx=-2tdt

置換積分って難しいですね・・・